ある病気にかかっているかどうかは、症状や検査結果に基づいて判断されます。このように、データに基づいて知見を得る際に重要になる条件付き確率とベイズの定理について説明します。図1.13のように、箱の中に赤玉4個と青玉8個が入っており、それぞれの玉には1, 2, 3 いずれかの数が書いてあるとします。この箱から１個取り出したとき、赤玉である確率は P（赤）= 124 = 31 、数字１が書かれている確率は P（1）= 126 = 21 です。では、取り出した玉が赤玉であるときに数字１が書かれている確率はいくらでしょうか？ある条件のもとである事象が起こる確率を条件付き確率と言い、P（事象｜条件）のように書きます。上の例では赤玉4個のうち 1が書かれている玉は3個ですから、取り出した玉が赤玉のとき 1が書かれている確率は 43 、すなわち P（1￨赤）= 43 です。条件を縦線より後ろに書くことに注意してください。取り出した玉が1が書かれている赤玉である確率（図1.14の紫の領域）は、取り出した玉が赤玉である確率 P(赤)と、赤玉である場合に1が書かれている条件付き確率 P(1￨赤)の積に等しくなります。すなわち、P(1∩赤) = P(1￨赤) P(赤) = 43 × 124 = 123 = 41 。 他方、この確率は取り出した玉に書かれている数字が 1 である確率 P(1) と、取り出した玉が1である場合に赤玉である確率 P(赤|1）の積に等しくなります。すなわち、P(1∩赤) = P(赤￨1) P(1) = 63 × 126 = 123 = 41 。一般に、二つの事象 A, B の同時確率と条件付き確率の間には P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) の関係があります。これより、以下のベイズの定理が得られます。条件付き確率ベイズの定理上記の例で、1が書かれている赤玉は3個あります。したがって、箱から1個取り出したときにその玉が１が書かれている赤玉である確率 P（1∩赤）= 123 = 41 です。ここで記号 ∩ （キャップ）は「かつ」という関係をあらわします。このようにふたつの事象が同時に起こる確率のことを同時確率と言います。同時確率第1部条件付き確率とベイズの定理図1.13: 箱の中に入っている数字が書かれた２色の玉。図1.14: 色と数字で分類した箱の中に入っている玉。P(A|B) = P(B|A) P(A)P(B) ○1○1○1○1○1○1○2○2○2○3○3○3○1○1○1○1○1○1○2○2○2○3○3○312
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